26. Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

17 Ιούλιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί (Ρητοί αριθμοί) - H ευθεία των ρητών - Τετμημένη σημείου

1.1 Η ανάγκη εισαγωγής των αρνητικών αριθμών

Θεωρία και Ορισμοί

Στο σύστημα των φυσικών (απολύτων ακεραίων) αριθμών (\(\mathbb{N}\) ή \(\Phi_0\)), η πράξη της αφαίρεσης \(a - \beta\) είναι δυνατή μόνο όταν ο μειωτέος \(a\) είναι μεγαλύτερος ή ίσος από τον αφαιρετέο \(\beta\) (\(a \geq \beta\)).

Όταν ο αφαιρετέος είναι μεγαλύτερος (\(a < \beta\)), η πράξη χαρακτηρίζεται ως «αδύνατη» μέσα στο σύστημα των ακεραίων της Αριθμητικής.

Για να ξεπεραστεί αυτός ο περιορισμός και να είναι κάθε αφαίρεση δυνατή, εισάγονται οι αρνητικοί αριθμοί, οι οποίοι μαζί με τους θετικούς και το μηδέν αποτελούν το διευρυμένο σύνολο των ακεραίων.

Ιδιότητες

  • Οι αρνητικοί αριθμοί εκφράζουν μεγέθη αντίθετα προς τα θετικά (π.χ. χρέος αντί για περιουσία).

  • Η αφαίρεση \(a - \beta\) στους ρητούς αριθμούς είναι πλέον πάντοτε δυνατή.

  • Το μηδέν (0) λειτουργεί ως το σημείο αναφοράς (ουδέτερο στοιχείο) ανάμεσα στους θετικούς και τους αρνητικούς.

  • Πρόσημα: Χρησιμοποιούμε τα σύμβολα «+» και «-» πριν από τους αριθμούς για να τους χαρακτηρίσουμε.

  • Θετικοί και Αρνητικοί: Θετικός λέγεται ο αριθμός με πρόσημο «+» (αν δεν έχει πρόσημο σημαίνει οτι είναι θετικός), ενώ αρνητικός ο αριθμός με πρόσημο «-».

  • Το Μηδέν (0): Αποτελεί το σημείο αναφοράς και δεν είναι ούτε θετικός ούτε αρνητικός αριθμός.

  • Ομόσημοι και Ετερόσημοι: Ομόσημοι ονομάζονται οι αριθμοί με το ίδιο πρόσημο, ενώ ετερόσημοι εκείνοι με διαφορετικό.

  • Ομόσημοι θετικοί: \(+5,+7,+12, +5876\).

  • Ομόσημοι αρνητικοί: \(-2000, -36,4 , -3, -0,01\)

  • Ετερόσημοι: \(-296\quad και\quad85\) \(\quad\),\(\quad\) \(+34,78\quad και\quad -\frac{8}{5}\)

  • Το σύνολο των ακεραίων \(\mathbb{N}\) είναι όλοι οι φυσικοί αριθμοί (οι οποίοι είναι οι θετικοί ακέραιοι) μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς

\[\mathbb{N}={......, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, .....}\]

  • Ρητοί \(\mathbb{Q}\) αριθμοί είναι όλοι οι γνωστοί μας έως τώρα αριθμοί: φυσικοί, κλάσματα και δεκαδικοί μαζί με τους αντίστοιχους αρνητικούς αριθμούς.

\[\mathbb{Q}=\left\{{\dfrac{a}{β}} : \ \ α \in \mathbb{Z}, \ \ \ β \in \mathbb{Z} \ \ \text{ και } \ \ β\ne 0 \right\}\]

Παραδείγματα

  1. Η αφαίρεση \(15 - 23\) είναι αδύνατη στους φυσικούς αριθμούς, αλλά έχει νόημα στους ρητούς ως \(-8\).
  2. Μια θερμοκρασία \(5\) βαθμούς κάτω από το μηδέν εκφράζεται ως \(-5^\circ C\).
  3. Ένα οικονομικό έλλειμμα (χρέος) \(1.000\) δραχμών εκφράζεται ως \(-1.000\).
  4. Το βάθος \(10\) μέτρα κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας εκφράζεται ως \(-10\) m.
  5. Η κίνηση ενός σημείου πάνω σε έναν άξονα κατά \(3\) μονάδες προς τα αριστερά της αρχής \(O\).

Ασκήσεις

  1. Εξετάστε αν η πράξη \(8 - 12\) είναι δυνατή στο σύνολο \(\Phi_0\).
  2. Αν ένας έμπορος έχει εισπράξεις \(100\) δρχ. και πληρωμές \(150\) δρχ., ποιο είναι το υπόλοιπο του ταμείου του;.
  3. Ποιος αριθμός πρέπει να προστεθεί στο \(20\) για να προκύψει \(15\);
  4. Εκφράστε με πρόσημο τη διαφορά ηλικίας αν ο υιός είναι \(15\) και ο πατέρας \(45\).
  5. Συμπληρώστε την ισότητα \(10 - ... = 15\).
  6. Για ποιες τιμές του \(a\) η διαφορά \(7 - a\) δεν ανήκει στους φυσικούς αριθμούς;.
  7. Γράψτε τον αντίθετο του αριθμού \(+5\).
  8. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός κέρδους \(500\) δρχ. και μιας ζημίας \(500\) δρχ.;
  9. Αν ένα ασανσέρ κατεβαίνει \(2\) ορόφους κάτω από το ισόγειο (0), σε ποιον όροφο βρίσκεται;
  10. Τι σημαίνει η έκφραση «έλλειμμα 6.720 δρχ.» σε μαθηματική μορφή;.
  11. Ποια είναι η απόσταση του \(-3\) από το \(0\) στον άξονα;.
  12. Αν \(a = -4\), υπολογίστε την τιμή της παράστασης \(a + 4\).
  13. Βρείτε έναν αριθμό που η διαφορά του από το \(10\) να είναι \(15\).
  14. Χρησιμοποιήστε το σύμβολο \(<\) για να συγκρίνετε το \(0\) με το \(-5\).
  15. Γιατί η διαίρεση με το \(0\) παραμένει αδύνατη και στους αρνητικούς αριθμούς;.

1.2 Έκφραση μεγεθών με θετικούς ή αρνητικούς αριθμούς

Θεωρία και Ορισμοί

Τα συγκεκριμένα ποσά ή μεγέθη μπορούν να έχουν αντίθετες φορές ή κατευθύνσεις. Οι θετικοί αριθμοί (+) χρησιμοποιούνται για μεγέθη που δηλώνουν αύξηση, κέρδος, ύψος ή κίνηση προς τα δεξιά. Οι αρνητικοί αριθμοί (-) χρησιμοποιούνται για μεγέθη που δηλώνουν μείωση, ζημία, βάθος ή κίνηση προς τα αριστερά.

Ιδιότητες

  • Ομοειδή μεγέθη: Για να συγκριθούν ή να προστεθούν, πρέπει να αναφέρονται στην ίδια μονάδα μέτρησης.
  • Συμμεταβλητά ποσά: Δύο ποσά μπορεί να μεταβάλλονται ανάλογα ή αντίστροφα, επηρεάζοντας το πρόσημο της μεταβολής τους.

Παραδείγματα

  1. Ύψος βουνού \(2.917\) m (\(+2.917\)) και βάθος θάλασσας \(1.500\) m (\(-1.500\)).
  2. Κέρδος \(500\) δρχ. (\(+500\)) και έξοδα \(300\) δρχ. (\(-300\)).
  3. Χρονική στιγμή \(300\) π.Χ. (\(-300\)) και \(2024\) μ.Χ. (\(+2024\)).
  4. Θερμοκρασία \(10\) βαθμοί άνω του μηδενός (\(+10\)) και \(3\) βαθμοί κάτω του μηδενός (\(-3\)).
  5. Μετατόπιση κινητού προς τα δεξιά κατά \(5\) m (\(+5\)) και προς τα αριστερά κατά \(8\) m (\(-8\)).

15 Ασκήσεις

  1. Εκφράστε με ρητό αριθμό ένα χρέος \(1.500\) δρχ..
  2. Ένα πλοίο βρίσκεται \(50\) ναυτικά μίλια βόρεια του ισημερινού. Αν το βόρεια είναι (+), πώς εκφράζεται η θέση του;.
  3. Αν το βάρος ενός ατόμου μειώθηκε κατά \(3\) κιλά, πώς εκφράζεται η μεταβολή;
  4. Εκφράστε το ύψος ενός αεροπλάνου στα \(10.000\) πόδια.
  5. Ένας δύτης καταδύεται στα \(25\) μέτρα. Ποιο είναι το πρόσημο του βάθους;
  6. Η θερμοκρασία στην κορυφή του Ολύμπου είναι \(-10^\circ C\). Τι σημαίνει αυτό;.
  7. Εκφράστε το έτος ίδρυσης της Ρώμης (\(753\) π.Χ.) ως ρητό αριθμό.
  8. Αν η είσπραξη είναι \(+894\) δρχ., τι εκφράζει το \(-286\) δρχ.;.
  9. Ένα σημείο \(A\) έχει τετμημένη \(+4\). Προς ποια μεριά του μηδενός βρίσκεται;.
  10. Πώς εκφράζεται η μείωση της τιμής ενός προϊόντος κατά \(20\) δρχ.;
  11. Εκφράστε την υπεροχή ενός αριθμού \(a\) έναντι του \(\beta\) αν \(a=10\) και \(\beta=15\).
  12. Πώς συμβολίζεται η μεταβολή της στάθμης μιας δεξαμενής που άδειασε κατά \(720\) kg λάδι;.
  13. Αν μια βίδα βιδώνει (+) και ξεβιδώνει (-), πώς εκφράζονται \(3\) στροφές ξεβιδώματος;.
  14. Εκφράστε την ταχύτητα ενός κινητού που κινείται αντίθετα προς την ορισμένη φορά.
  15. Ένας μαθητής έχασε \(18\) βώλους και κέρδισε \(12\). Ποιο είναι το τελικό πρόσημο της μεταβολής του;.

1.3 Παράσταση ρητού με σημείο ενός άξονα - Τετμημένη σημείου

Θεωρία και Ορισμοί

Για τη γραφική παράσταση των ρητών αριθμών χρησιμοποιούμε μια ευθεία \(x'x\), στην οποία ορίζουμε μια αρχή \(O\) (που αντιστοιχεί στο μηδέν) και ένα μοναδιαίο τμήμα \(OA\) (που αντιστοιχεί στη μονάδα 1).

Οι ρητοί αριθμοί απεικονίζονται ως σημεία πάνω στον άξονα των ρητών.

  • Στο κέντρο τοποθετείται το μηδέν.

  • Στα δεξιά βρίσκονται οι θετικοί αριθμοί και στα αριστερά οι αρνητικοί.

  • Ο αριθμός που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του άξονα ονομάζεται τετμημένη του σημείου.

Η αριθμογραμμή των ρητών

Ιδιότητες

  • Σε κάθε ρητό αριθμό αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα σημείο του άξονα.
  • Οι θετικοί ρητοί παριστάνονται δεξιά της αρχής \(O\) και οι αρνητικοί αριστερά.
  • Για να παραστήσουμε ένα κλάσμα \(\dfrac{a}{β}\), διαιρούμε το μοναδιαίο τμήμα σε \(\beta\) ίσα μέρη και παίρνουμε \(a\) τέτοια μέρη από το μηδέν.

Παραδείγματα

  1. Το σημείο \(Α\) με τετμημένη \(+3\) βρίσκεται \(3\) μονάδες δεξιά του \(O\) και το Β με τετμημέμη \(-5\), 5 μονάδες αριστερά της αρχής Ο.

Η ευθεία των ρητών
  1. Το κλάσμα \(\dfrac{3}{4}\) παριστάνεται στο σημείο που προκύπτει αν χωρίσουμε τη μονάδα σε \(4\) ίσα μέρη και μετρήσουμε \(3\) από την αρχή.
  2. Ο μικτός αριθμός \(2 \dfrac{1}{4}\) (ή \(9/4\)) βρίσκεται μεταξύ των σημείων \(2\) και \(3\) του άξονα.
  3. Το σημείο με τετμημένη \(-2\) βρίσκεται \(2\) μονάδες αριστερά του \(O\).
  4. Η αρχή των αξόνων \(O\) έχει τετμημένη \(0\).

15 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε έναν άξονα \(Ox\) και τοποθετήστε τα σημεία με τετμημένες \(1, 2, 5\).
  2. Τοποθετήστε στον άξονα τα κλάσματα \(1/2, 3/4, 5/4\).
  3. Βρείτε την τετμημένη του μέσου \(M\) ενός τμήματος \(AB\) αν \(A(+2)\) και \(B(+6)\).
  4. Ποια είναι η απόσταση ανάμεσα στα σημεία με τετμημένες \(-3\) και \(+2\);.
  5. Σημειώστε στον άξονα τον αριθμό \(0,5\).
  6. Αν ένα σημείο μετατοπιστεί από το \(+2\) κατά \(5\) μονάδες αριστερά, ποια θα είναι η νέα του τετμημένη;.
  7. Ποιο σημείο είναι συμμετρικό του \(A(+3)\) ως προς την αρχή \(O\);.
  8. Τοποθετήστε στον άξονα τον ρητό αριθμό \(-1,5\).
  9. Πόσα ίσα μέρη πρέπει να χωρίσετε τη μονάδα για να παραστήσετε το \(7/8\);.
  10. Βρείτε το σημείο που αντιστοιχεί στον αντίστροφο του \(+2\).
  11. Σχεδιάστε τα σημεία \(A(1/3)\) και \(B(2/3)\). Ποιο είναι δεξιότερα;.
  12. Τοποθετήστε στον άξονα τον μικτό αριθμό \(3 \dfrac{1}{2}\).
  13. Ποια είναι η τετμημένη της αρχής \(O\);.
  14. Σημειώστε ένα σημείο \(P\) με τετμημένη \(x\), έτσι ώστε \(OP= 4\) μονάδες. Πόσες λύσεις υπάρχουν;
  15. Αν η μονάδα \(OA\) είναι \(2\) cm, σε πόση απόσταση από το \(O\) βρίσκεται το σημείο με τετμημένη \(+2,5\);.